令$\mathbb{Z}$为整数环. 本文考虑预知分母可能因子的有理函数恢复问题：假设待恢复的有理函数$R(U)=\frac{P(U)}{Q(U)}\in \mathbb{Z}[U]$, 并且假定 (1) 对于任意选定的节点$U_i$, 与之相应的有理函数值$R(U_i)$容易计算; (2) 已知分母$Q(X)$的所有可能因子$D_i(U)$, $i=1,\ldots,m$, 即 $$Q(U)=CD_{1}^{d_1}D_2^{d_2}\cdots D_m^{d_m},$$ 其中$0\leq d_1,d_2,\ldots,d_m$为未知的待定正整数, $C\in \mathbb{Z}$为待定系数, $P(U)$为未知多项式. 关心此类问题的原因是: 在正维多项式系统解的有理表示算法中, 令$U$为变元集$X$的极大无关变元集, $V=X/U$, $I^e$是正维理想$I$在$K(U)[V]$上的扩张理想, 解决$I^e$的解的有理表示集是求解正维理想$I$的有理表示的关键步骤. $I^e$是$K(U)[V]$上的零维理想, 理论上, 对$I^e$ 直接使用Rouillier建立的RUR算法, 可得其在有理函数域$K(U)$中的有理表示(RUR), 但由于在有理函数域$K(U)$中运算, 计算代价非常大. 若先选择适当的节点$U_i$, 即可得到零维理想$I_{U_i}\subset K[V]$, 在一定条件下, $I_{U_i}$的RUR中的系数等于$I^e$的RUR系数$R_k(U)\in K(U)$在$U_i$点的赋值, 故有理函数值$R_k(U_i)$已知. 于是可以通过数据$\{U_i,R_k(U_i)\}$将RUR中的有理系数$R(U)$恢复出来, 从而获得$I^e$在$K(U)[V]$中的有理表示. 又因为 谭畅、张树功已经证明这种RUR中所有多项式的系数的分母的最小公倍式的无平方部分整除某一已知多项式$\mathscr{F}$, 其中$\mathscr{F}$为$I^e$的Groebner基的领项系数的最小公倍式. 由于$I^e$的Groebner基已知, 故$\mathscr{F}$已知. 这表明以正维多项式系统解的有理表示为研究背景, 预知分母可能因子的有理函数恢复问题的2个基本假设是合理的. 对于这种有理函数恢复问题, 若这些$d_i$得以确定, 则该问题转化为多项式恢复问题, 利用多项式插值算法即可将有理函数恢复出来. 下面分析确定$d_i$的恢复方法. 选择适当的$U_i$, 使得$D_j(U_i)$与$D_k(U_i)$互相不能整除, 因为$$R(U_i)=\frac{M_i}{N_i}=\frac{P(U_i)}{Q(U_i)}=\frac{P(U_i)}{CD_{1}(U_i)^{d_1}D_2(U_i)^{d_2}\cdots D_m(U_i)^{d_m}},$$ 由于$P(U_i)$和$Q(U_i)$可能存在公因子, $N_i \leq Q(U_i)$, 所以将$N_i$分解成$D_{1}(U_i)$, $D_{2}(U_i)$, $\ldots$, $D_{m}(U_i)$乘幂的乘积的形式时 $$N_i=c_iD_{1}(U_i)^{d_1^{(i)}}D_2(U_i)^{d_2^{(i)}}\cdots D_m(U_i)^{d_m^{(i)}},$$ 其各因子的幂次$d_j^{(i)}\leq d_j$. 选择足够多的$U_i$,可得 $c_1$ ， ${d_1^{(1)}}$， ${d_2^{(1)}}$， $\cdots$， ${d_m^{(1)}}$ ， $c_2$ ， ${d_1^{(2)}}$ ， ${d_2^{(2)}}$， $\cdots$ ， ${d_m^{(2)}}$， $\vdots$， $\vdots$， $\vdots$，$\vdots$， $\vdots$ 取$d_1=\max\{d_1^{(i)}\}$, $d_2=\max\{d_2^{(i)}\}$, $\ldots$, $d_m=\max\{d_m^{(i)}\}$, $C=LCM \{c_i:i=1,\ldots\}$, 则$$Q(U)=CD_{1}^{d_1}D_2^{d_2}\cdots D_m^{d_m},$$ 至此, 将有理函数恢复问题转化为多项式恢复问题, 即求多项式$P(U)$, 使得 $P(U_i)=Q(U_i)R(U_i),~i=1,\ldots$.